平方差公式总结 平方差公式法则(范文模板精品5篇)

平方差公式是指两个数的和与差的平方等于它们的平方和减去它们乘积的二倍。这个公式在实数和有理数范围内都成立。它的形式可以写成(a+b)(a-b)=a²±ab+b²。这个公式的应用可以简化一些计算,尤其是在处理整数、多项式和代数方程等问题时。平方差公式的证明通常基于一些基本的数学定理,如整数和分数的乘法法则,以及整数和分数的加减法则。总之,平方差公式是一个重要的数学概念,它在计算和解决问题中发挥着重要作用。

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平方差公式总结1

教材分析

平方差公式是在学习多项式乘法等知识的基础上,自然过渡到具有特殊形式的多项式的乘法,体现教材从一般到特殊的意图。教材为学生在教学活动中获得数学的思想方法、能力、素质提供了良好的契机。对它的学习和研究,不仅得到了特殊的多项式乘法的简便算法,而且为以后的因式分解,分式的化简、二次根式中的分母有理化、解一元二次方程、函数等内容奠定了基础,同时也为完全平方公式的学习提供了方法,因此,平方差公式在教材中有承上启下的作用,是初中阶段一个重要的公式。

学情分析

学生是在学习积的乘方和多项式乘多项式后学习平方差公式的,但在进行积的乘方的运算时,底数是数与几个字母的积时往往把括号漏掉,在进行多项式乘法运算时常常会确定错某些次符号及漏项等问题。学生学习平方差公式的困难在于对公式的结构特征以及公式中字母的广泛的理解,当公式中a、b是式时,要把它括号在平方。

教学目标

1、知识与技能:经历探索平方差公式的过程,会推导平方差公式,并能运用公式进行运算.

2、过程与方法:在探索平方差公式的过程中,发展学生的符号感和归纳能力、推理能力.在计算的过程中发现规律,掌握平方差公式的结构特征,并能用符号表达,从而体会数学语言的简洁美.

3、情感、态度与价值观:激发学习数学的兴趣.鼓励学生自己探索,有意识地培养学生的合作意识与创新能力.

教学重点和难点

重点:平方差公式的推导和应用.

难点:理解掌握平方差公式的结构特点以及灵活运用平方差公式解决实际问题.

平方差公式总结2

教学目的

进一步使学生理解掌握平方差公式,并通过小结使学生理解公式数学表达式与文字表达式在应用上的差异.

教学重点和难点:公式的应用及推广.

教学过程:

一、复习提问

1.(1)用较简单的代数式表示下图纸片的面积.

(2)沿直线裁一刀,将不规则的右图重新拼接成一个矩形,并用代数式表示出你新拼图形的面积.

讲评要点:

沿HD、GD裁开均可,但一定要让学生在裁开之前知道

HD=BC=GD=FE=a-b,

这样裁开后才能重新拼成一个矩形.希望推出公式:

a2-b2=(a+b)(a-b)

2.(1)叙述平方差公式的数学表达式及文字表达式;

(2)试比较公式的两种表达式在应用上的差异.

说明:平方差公式的数学表达式在使用上有三个优点.(1)公式具体,易于理解;(2)公式的特征也表现得突出,易于初学的人“套用”;(3)形式简洁.但数学表达式中的a与b有概括性及抽象性,这样也就造成对具体问题存在一个判定a、b的问题,否则容易对公式产生各种主观上的误解.

依照公式的文字表达式可写出下面两个正确的式子:

经对比,可以让人们体会到公式的文字表达式抽象、准确、概括.因而也就“欠”明确(如结果不知是谁与谁的平方差).故在使用平方差公式时,要全面理解公式的实质,灵活运用公式的两种表达式,比如用文字公式判断一个题目能否使用平方差公式,用数学公式确定公式中的a与b,这样才能使自己的计算即准确又灵活.

3.判断正误:

(1)(4x+3b)(4x-3b)=4×2-3b2;(×)(2)(4x+3b)(4x-3b)=16×2-9;(×)

(3)(4x+3b)(4x-3b)=4×2+9b2;(×)(4)(4x+3b)(4x-3b)=4×2-9b2;(×)

二、新课

例1运用平方差公式计算:

(1)102×98;(2)(y+2)(y-2)(y2+4).

解:(1)102×98(2)(y+2)(y-2)(y2+4)

=(100+2)(100-2)=(y2-4)(y2+4)

=1002-22=10000-4=(y2)2-42=y4-16.

=9996;

2.运用平方差公式计算:

(1)103×97;(2)(x+3)(x-3)(x2+9);

(3)59.8×60.2;(4)(x-)(x2+)(x+).

3.请每位同学自编两道能运用平方差公式计算的题目.

例2填空:

(1)a2-4=(a+2)();(2)25-x2=(5-x)();(3)m2-n2=()();

思考题:什么样的二项式才能逆用平方差公式写成两数和与这两数的差的积?

(某两数平方差的二项式可逆用平方差公式写成两数和与这两数的差的积)

练习

填空:

1.x2-25=()();

2.4m2-49=(2m-7)();

3.a4-m4=(a2+m2)()=(a2+m2)()();

例3计算:

(1)(a+b-3)(a+b+3);(2)(m2+n-7)(m2-n-7).

解:(1)(a+b-3)(a+b+3)(2)(m2+n-7)(m2-n-7)

=[(a+b)-3][(a+b)+3]=[(m2-7)+n][(m2-7)-n]

=(a+b)2-9=a2+2ab+b2-9.=(m2-7)2-n2

=m4-14m2+49-n2.

三、小结

1.什么是平方差公式?一般两个二项式相乘的积应是几项式?

2.平方差公式中字母a、b可以是那些形式?

3.怎样判断一个多项式的乘法问题是否可以用平方差公式?

四、布置作业

1.运用平方差公式计算:

(1)(a2+b)(a2-b);(2)(-4m2+5n)(4m2+5n);

(3)(x2-y2)(x2+y2);(4)(9a2+7b2)(7b2-9a2).

2.运用平方差公式计算:

(1)69×71;(2)53×47;(3)503×497;(4)40×39.

平方差公式总结3

一、教学目标

(一)教学目标

1.了解平方差公式的几何背景.

2.会用面积法推导平方差公式,并能运用公式进行简单的运算.

3.体会符号运算对证明猜想的作用.

(二)能力目标

1.用符号运算证明猜想,提高解决问题的能力.

2.培养学生观察、归纳、概括等能力.

(三)情感目标

1.在拼图游戏中对平方差公式有一个直观的几何解释,体验学习数学的乐趣.

2.体验符号运算对猜想的作用,享受数学符号表示运算规律的简捷美.

二、教学重难点

(一)教学重点

平方差公式的几何解释和广泛的应用.

(二)教学难点

准确地运用平方差公式进行简单运算,培养基本的运算技能.

三、教具准备

一块大正方形纸板,剪刀.

投影片四张

第一张:想一想,记作(1.7.2A)

第二张:例3,记作(1.7.2B)

第三张:例4,记作(1.7.2C)

第四张:补充练习,记作(1.7.2D)

四、教学过程

Ⅰ.创设问题情景,引入新课

[师]同学们,请把自己准备好的正方形纸板拿出来,设它的边长为a.

这个正方形的面积是多少?

[生]a2.

[师]请你用手中的剪刀从这个正方形纸板上,剪下一个边长为b的小正方形(如图1-23).现在我们就有了一个新的图形(如上图阴影部分),你能表示出阴影部分的面积吗?

[生]剪去一个边长为b的小正方形,余下图形的面积,即阴影部分的面积为(a2-b2).

[师]你能用阴影部分的图形拼成一个长方形吗?同学们可在小组内交流讨论.

(教师可巡视同学们拼图的情况,了解同学们拼图的想法)

平方差公式总结4

一、内容解析

《平方差公式》是在学习了有理数运算、列简单的代数式、一次方程及不等式、整式的加减及整式乘法等知识的基础上,在学生已经掌握了多项式乘法之后,自然过渡到具有特殊形式的多项式的乘法,是从一般到特殊的认知规律的典型范例.对它的学习和研究,不仅给出了特殊的多项式乘法的简便算法,而且为以后的因式分解、分式的化简、二次根式中的分母有理化、解一元二次方程、函数等内容奠定了基础,同时也为完全平方公式的学习提供了方法.因此,平方差公式在初中阶段的教学中也具有很重要地位,是初中阶段的第一个公式.

本节课的教学重点是:经历探索平方差公式的全过程,并能运用公式进行简单的运算.

二、目标和目标解析

目标

1.经历平方差公式的探索过程,进一步发展学生的符号感和推理能力、归纳能力;

2.掌握平方差公式的结构特征,能运用公式进行简单的运算;

3.会用几何图形说明公式的意义,体会数形结合的思想方法.

目标解析:

1.让学生经历“特例──归纳──猜想──验证──用数学符号表示”这一数学活动过程,积累数学活动的经验,进一步发展学生的符号感、推理能力、归纳能力,同时体会数学的简洁美、培养他们的合情推理和归纳的能力以及在解决问题过程中与他人合作交流的重要性.

2.让学生了解平方差公式产生的背景,理解平方差公式的意义,掌握平方差公式的结构特征,并能灵活运用平方差公式解决问题.在数学活动中,引导学生观察、分析公式的结构特征以及公式中字母的广泛含义,并在练习中,对发生的错误做具体分析,加深学生对公式的理解.

3.通过自主探究与合作交流的学习方式,让学生经历探索新知、巩固新知和拓展新知这一过程,发挥学生的主体作用,增强学生学数学、用数学的兴趣.同时,让学生在公式的运用中积累解题的经验,体会成功的喜悦.

三、教学问题诊断分析

学生已熟练掌握了幂的运算和整式乘法,但在进行多项式乘法运算时常常会确定错某些项符号及漏项等问题.学生学习平方差公式的困难在于对公式的结构特征以及公式中字母的广泛含义学生的理解.因此,教学中引导学生分析公式的结构特征,并运用变式训练揭示公式的本质特征,以加深学生对公式的理解.

本节课的教学难点:利用数形结合的数学思想方法解释平方差公式,灵活运用平方差公式进行计算.

平方差公式总结5

15.2乘法公式

15.2.1平方差公式

教学目标

①经历探索平方差公式的过程,进一步发展学生的符号感和推理能力、归纳能力.

②会推导平方差公式并掌握公式的结构特征,能运用公式进行简单的计算.

③了解平方差公式的几何背景,体会数形结合的思想方法.

教学重点与难点

重点:平方差公式的推导及应用.

难点:用公式的结构特征判断题目能否使用公式.

教学准备

卡片及多媒体课件

教学设计

引入

同学们,前面我们刚刚学习了整式的乘法,知道了一般情形下两个多项式相乘的法则.今天我们要继续学习某些特殊情形下的多项式相乘.下面请同学们应用你所学的知识,自己来探究下面的问题:

探究:计算下列多项式的积,你能发现它们的运算形式与结果有什么规律吗?

(1)(x+1)(x-1)=

(2)(m+2)(m-2)=

(3)(2x+1)(2x-1)=

引导学生用自己的语言叙述所发现的规律,允许学生之间互相补充,教师不急于概括.

注:平方差公式是多项式乘法运算中一个重要的公式,它的得出可以直接利用多项式与多项式相乘的运算法则,利用多项式乘法推导乘法公式是从一般到特殊的过程,对今后学习其他乘法公式的推导有一定的指导意义,同时也可培养学生观察、归纳、概括等能力,因此在教学中,首先应让学生思考:你能发现什么?让学生经历观察(每个算式和结果的特点)、比较(不同算式之间的异同)、归纳(可能具有的规律)、提出猜想的过程,学生在发现规律后,还应通过符号运算对规律进行证明.

举例

再举几个这样的运算例子.

注:让学生独立思考,每人在组内举一个例子(可口述或书写),然后由其中一个小组的代表来汇报.

验证

我们再来计算(a+b)(a-b)=

公式的推导既是对上述特例的概括,更是从特殊到一般的归纳证明,在此应注意向学生渗透数学的思想方法:特例→归纳→猜想→验证→用数学符号表示.

注:这里是对前边进行的运算的讨论,目的是让学生通过观察、归纳,鼓励他们发现这个公式的一些特点,如公式左右边的结构特征,为下一步运用公式进行简单计算打下基础.

概括

平方差公式及其形式特征.

教师可以在前面的基础上继续鼓励学生发现这个公式的一些特点:如公式左、右边的结构,并尝试说明这些特点的原因.

应用

教科书第152页例1运用平方差公式计算:

(1)(3x+2)(3x-2)

(2)(b+2a)(2a-b)

(3)(-x+2y)(-x-2y)

填表:

(a+b)(a-b)aba2—b2最后结果

(3x+2)(3x-2)2(3x)2-22

(b+2a)(2a-b)

(-x+2y)(-x-2y)

对本例的前面两个小题可以采用学生独立完成,然后抢答的形式完成;第三小题可采用小组讨论的形式,要求学生在给出表格所提示的解法之后,思考别的解法:提取后一个因式里的负号,将2y看作“a”,将x看作“b”,然后运用平方差公式计算.

注:(1)正确理解公式中字母的广泛含义,是正确运用这一公式的关键.设计本环节,旨在通过将算式中的各项与公式里的a、b进行对照,进一步体会字母a、b的含义,加深对字母含义广泛性的理解:即它们既可以是数,也可以是含字母的整式.

(2)在具体计算时,当有一个二项式两项都负时,往往不易判明a、b,如第三小题,此时可以通过小组合作交流,放手让学生去思考、讨论,有助于学生思维互补、有条理地思考和表达,更有助于学生合作精神的培养.

(3)例1第(3)小题引导学生多角度思考问题,可以加深对公式的理解.

教科书第152页例2计算:

(1)102×98

(2)(y+2)(y-2)-(y-1)(y+5)

此处仍先让学生独立思考,然后自主发言,口述解题思路,允许他们算法的多样化,然后通过比较,优化算法,达到简便计算的目的.

注:(1)运用平方差公式进行数的简便运算的关键是根据数的形式特征,把相乘的两数化成两数和与两数差的乘积形式,教学时可让学生自己寻找相乘两数的形式特征.

(2)第二小题要引导学生注意到一般形式的整式乘法与特殊形式的整式乘法的区别与联系,强调:只有符合公式要求的乘法,才能运用公式简化运算,其余的运算仍按整式乘法法则进行.

巩固

教科书第153页练习1、2

练习1口答完成;练习2采用大组竞赛的形式进行,其中(1)(4)由两个大组完成,(2)(3)由另两个大组完成.

注:让学生通过巩固练习,达成本节课的基本学习目标,并通过丰富的活动形式,激发学习兴趣,培养竞争意识和集体荣誉感.

解释

你能根据下面的两个图形解释平方差公式吗?

多媒体动画演示图形的变换过程,体会过程中不变的量,并能用代数恒等式表示.

注:(1)重视公式的几何背景,可以帮助学生运用几何直观理解、解决有关代数问题.

(2)此处将教科书的图15.3-1分解为两个图形,是考虑到学生数与形结合的思想方法掌握的不够熟练;利用两个图形可以清楚变化的过程,便于联想代数的形式.

小结

谈一谈:你这一节课有什么收获?

注:这儿采取的是先由每个学生自己小结,然后由小组代表作答,把教师做小结变成了课堂上人人做小结,有助于学生概括能力、抽象能力、表达能力的提高.同时,由于人人都要做小结,促使学生注意力集中,学习主动性加强.

作业

1.必做题:教科书第156页习题15.2第1题

2.选做题:计算:

(1)x2+(y-x)(y+x)

(2)20082-20xx×20xx

(3)(-0.25x-2y)(-0.25x+2y)

(4)(a+b)(a-b)-(3a-2b)(3a+2b)

教学后记

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John KingJohn King
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